FUNÇÃO QUADRÁTICA

Questão 1

A função quadrática f(x) = 16x – x² definida no domínio dado pelo intervalo [0, 7] tem imagem máxima igual a:

A 64

B 63,5

C 63

D 62,5

E 62

Gabarito:

C

Resolução:

(Resolução oficial)

O gráfico da função é uma parábola com concavidade para baixo, raízes 0 e 16 e abscissa do vértice igual a 8.

 

Como o domínio é o intervalo [0, 7] a imagem máxima ocorrerá para x = 7, isto é: f(7) = 16(7) – 7² = 63 .

---

Questão 2

Considere as funções quadráticas q₁(x) e q₂(x) cujos gráficos são exibidos na figura.

a) Faça o esboço de um possível gráfico da função produto q(x) = q₁(x)q₂(x).

b) Calcule o quociente do polinômio h(x) = xq(x) pelo polinômio k(x) = x + 1 e exiba suas raízes.

Gabarito:

a) As raízes de q₁(x) são -1 e 3, e seu gráfico é uma parábola de concavidade voltada para cima. Portanto: q₁(x) = a(x + 1)(x – 3), com a real e a > 0.
As raízes de q₂(x) são –1 e 4, e seu gráfico é uma parábola de concavidade volatada para baixo. Portanto: q₂(x) = b(x – 1)(x – 4), com b real e b < 0.
Portanto, q(x) = q₁(x)q₂(x) = ab(x + 1)(x – 1)(x – 3)(x – 4).

Possível gráfico:


b) h(x) = abx(x + 1)(x – 1)(x – 3)(x – 4)

As raízes de   são 0, 1, 3 e 4.

---

Questão 3

Em seus trabalhos de campo, os botânicos necessitam demarcar áreas de mata onde farão observações. Essas áreas são denominadas parcelas e, geralmente, usa-se cordas para demarcá-las.
  

Nesse contexto, se uma parcela retangular for demarcada com 60 m de corda, sua área será, no máximo, de:

a) 100 m²

b) 175 m²
c) 200 m²
d) 225 m²
e) 300 m²

Gabarito:

D

Resolução:

Se o perímetro do retângulo é de 60 metros, seu semiperímetro é de 30 metros.
Se x é uma das dimensões do retângulo, a outra dimensão é (30 – x).
Assim, função que determina a área do retângulo é dada por:
  
A(x) = x(30 – x)
A(x) = –x² + 30x

As raízes da função são x = 0 e x = 30. Portanto, seu ponto máximo é dado quando x = 15. Assim, a área máxima será:
A_max = A(15) = – 15² + 30 × 15 = 225 m².

---

Questão 4

Em uma cidade do estado do Rio de Janeiro, uma loja vende dois tipos de pranchas de surf, ambos fabricados por um mesmo surfista da cidade. Uma pesquisa mostrou que a procura por cada tipo de prancha depende não somente de seu preço, mas do preço da outra. Assim, se a prancha A for vendida por x reais e a prancha B por y reais, serão vendidas anualmente –30x +10y + 9.180 unidades da prancha A e 20x – 36y + 4000 unidades da prancha B.

Lembre que a função receita é igual ao número de unidades demandadas pelo preço de cada unidade.

A. Por razões comerciais, o dono da loja estabeleceu que a prancha B deve custar 50% a mais que a prancha A. Nessas condições, a que preço deve vender cada prancha para maximizar a receita?

B. O surfista que fabrica as pranchas vende-as ao dono da loja por estes preços:

Prancha A → R$ 40,00
Prancha B → R$ 80,00

Com as mesmas condições do item (a), a que preço deve ser vendida cada prancha para que a loja obtenha o maior lucro possível? Aproxime os valores para o número inteiro de reais mais próximo.

Gabarito:

(Resolução oficial)

A.
Receita → x(9.180 – 30x + 10y) + y(4.000 + 20x – 36y); y = 1,5x
R(x) = x(9.180 – 30x + 15x) + 1,5x(4.000 + 20x – 54x)
R(x) = –1,5x² + 9.180x + 6.000x – 51x²




R(x) = –66x² + 15.180x         
x =   = 115 ; y = 115(1,5) = 172,5

Para maximizar a receita, a prancha A deve ser vendida a R$ 115,00, e a prancha B, a R$ 172,50.

B
Lucro → 66x² + 15.180x – [40 (9.180 – 30x + 10y) + 80 (4.000 + 20x – 36y)]
L(x) = 66x² + 15.180x – [687.200 – 600x – 2.720x]
L(x) = -66x² + 18.500x – 687.200

x =   = 140; y = 210

Para maximizar o lucro do lojista, a prancha A deve ser vendida por cerca de R$ 140,00, e a prancha B, por cerca de R$ 210,00.

---

Questão 5

Para uma excursão foi fretado um ônibus de cinquenta lugares. Cada pessoa deve pagar para a empresa de ônibus R$ 150,00 e mais uma taxa de R$ 5,00 para cada lugar não ocupado do ônibus.

a) Calcule a quantia recebida pela empresa no caso de ficarem 6 lugares não ocupados no ônibus.

b) Seja x o número de lugares ocupados no ônibus e seja Q(x) a quantia a ser paga à empresa. Determine uma expressão matemática para Q(x) e calcule a quantia máxima que a empresa pode receber pela excursão.

Gabarito:

a) No caso de 6 lugares não ocupados, a empresa recebe   reais.
b) 
Trata-se de uma função do segundo grau, cujo gráfico é uma parábola com concavidade voltada para baixo. Portanto, o valor de x que torna a quantia recebida máxima é:
.
Logo, a quantia máxima que pode ser recebida é:
 reais.

---

Questão 6

Um terreno retangular tem 800 m de perímetro e será dividido pelos segmentos PA e CQ em três partes, como mostra a figura.

Admita que os segmentos de reta PA e CQ estão contidos nas bissetrizes de dois ângulos retos do terreno e que a área do paralelogramo PAQC tem medida S.

Determine o maior valor, em m², que S pode assumir.

Gabarito:

(Resolução oficial)


Logo:
S_máxima =

---

Questão 7

Uma bola de beisebol é lançada de um ponto 0 e, em seguida, toca o solo nos pontos A e B, conforme representado no sistema de eixos ortogonais:

Durante sua trajetória, a bola descreve duas parábolas com vértices C e D.

A equação de uma dessas parábolas é y =  .

Se a abscissa de D é 35 m, a distância do ponto 0 ao ponto B, em metros, é igual a:

a) 38.

b) 40.

c) 45.

d) 50.

Gabarito:

B

Resolução:

Vamos encontrar as raízes da equação dada:

Assim, A = (30, 0).
Por simetria, como o vértice da segunda parábola tem abcissa x = 35, então B = (40, 0).
Portanto, a distância do ponto 0 ao ponto B é de 40 metros. 

---

Questão 8

Uma calha será construída a partir de folhas metálicas em formato retangular, cada uma medindo 1 m por 40 cm. Fazendo-se duas dobras de largura x, paralelas ao lado maior de uma dessas folhas, obtém-se três faces de um bloco retangular, como mostra a figura da direita.

 

a) Obtenha uma expressão para o volume desse bloco retangular em termos de x.

b) Para qual valor de x o volume desse bloco retangular será máximo?

Gabarito:

a) O bloco tem dimensões 1m, x e 0,4 – 2x. Assim, seu volume é dado por:
v(x) = 1 · x · (0,4 – 2x)
ou
v(x) = –2x² + 0,4x.
  
b) O volume será máximo quando x for o vértice da parábola que o gráfico da função v(x) determina. Ou seja:

---

Questão 9

Uma empresa fabricante de aparelhos que tocam músicas no formato MP3 efetuou um levantamento das vendas dos modelos que ela produz. Um resumo do levantamento é apresentado na tabela a seguir.

Modelo	Preço (R$)	Aparelhos vendidos (milhares)
A	150	78
B	180	70
C	250	52
D	320	36

a) Em face dos ótimos resultados obtidos nas vendas, a empresa resolveu sortear um prêmio entre seus clientes. Cada proprietário de um aparelho da empresa receberá um cupom para cada R$ 100,00 gastos na compra, não sendo possível receber uma fração de cupom. Supondo que cada proprietário adquiriu apenas um aparelho e que todos os proprietários resgataram seus cupons, calcule o número total de cupons e a probabilidade de que o prêmio seja entregue a alguma pessoa que tenha adquirido um aparelho com preço superior a R$ 300,00.

b) A empresa pretende lançar um novo modelo de aparelho. Após uma pesquisa de mercado, ela descobriu que o número de aparelhos a serem vendidos anualmente e o preço do novo modelo estão relacionados pela função n(p) = 115 – 0,25p, em que n é o número de aparelhos (em milhares) e p é o preço de cada aparelho (em reais). Determine o valor de p que maximiza a receita bruta da empresa com o novo modelo, que é dada por n × p.

Gabarito:

(Resolução oficial)

a) O número total de cupons é igual a 78000 + 70000 + 2 × 52000 + 3 × 36000 = 360000. Desses, 3 × 36000 = 108000 foram dados a proprietários de aparelhos com preço maior que R$ 300,00. Logo, a probabilidade pedida é igual a 3 × 36/360 = 0,3.

Resposta: Foram distribuídos 360000 cupons. A probabilidade de que o prêmio seja entregue a uma pessoa que comprou um aparelho com custo superior a R$ 300,00 é igual a 0,3, ou 30%.

b) A receita bruta da empresa é dada por r(p) = p × n(p) = p(115 – 0,25p). Essa função tem como raízes p = 0 e p = 115/0,25 = 460. Como o coeficiente que multiplica o termo quadrático de r(p) é negativo, essa função assume seu valor máximo em p = (0 + 460)/2 = 230.

Resposta: O valor de p que maximiza a receita bruta é R$ 230,00.

b’) A receita bruta da empresa é dada por r(p) = p × n(p) = 115p – 0,25p². Como o coeficiente que multiplica o termo quadrático dessa função é negativo, o valor máximo ocorre em p = –b/2a = –115/[2 × (–0,25)] = 230.

Resposta: O valor de p que maximiza a receita bruta é R$ 230,00.

---

Questão 10

Uma fábrica tem 2.000 unidades de certo produto em estoque e pode confeccionar mais 100 unidades deste produto por dia. A fábrica recebeu uma encomenda, de tantas unidades do produto quantas possa confeccionar, para ser entregue em qualquer data, a partir de hoje. Se o produto for entregue hoje, o lucro da fábrica será de R$ 6,00 por unidade vendida; para cada dia que se passe, a partir de hoje, o lucro diminuirá de R$ 0,20 por unidade vendida. Calcule o lucro máximo, em reais, que a fábrica pode obter com a venda da encomenda e indique a soma de seus dígitos.

Gabarito:

(Resolução oficial) 

Resposta: 08

Solução:

Se a fábrica demora x dias para entregar a encomenda então vai ter 2000 + 100x unidades que serão vendidas com um lucro por unidade de 6 – 0,2x; o lucro total será de f(x) = (2000 + 100x)(6 – 0,2x) = –20x² + 200x + 12000. Completando quadrados, temos f(x) = –20(x – 5)² + 12500. Desta expressão para f(x), concluímos que o valor máximo que f(x) pode assumir é 12500, para a escolha de x = 5.

---

Questão 11

O faturamento de uma empresa na venda de carro produto pode ser modelado por uma função quadrática, do tipo F(p) = a · p² + b · p + c, sendo p o preço de venda praticado. A figura abaixo apresenta os faturamentos obtidos em função do preço e o gráfico da função quadrática que aproxima esse faturamento.



Sobre os coeficientes da função quadrática, é correto afirmar que

(A) a > 0, b < 0 e c < 0.
(B) a < 0, b > 0 e c < 0.
(C) a > 0, b < 0 e c > 0.
(D) a < 0, b < 0 e c = 0.
(E) a < 0, b > 0 e c = 0.

Gabarito:

E

Resolução:

Como a parábola que representa a função tem concavidade voltada para baixo, pode-se afirmar que a < 0.

O ponto (0,0) pertence ao gráfico, portanto temos F(0) = 0 → c = 0.
  
Além disso, o ponto máximo da parábola pertence ao primeiro quadrante, portanto, x_v > 0. Ou seja,  . Como a é negativo, então -b também é. Portanto, b é positivo.

Logo, a < 0, b > 0, c = 0.

---

Questão 12

Uma empresa do ramo de confecções produz e comercializa calças jeans. Se x representa a quantidade produzida e comercializada (em milhares de unidades) e 

l(x) = – x² + 48x – 10

representa o lucro (em milhares de reais) da empresa para x unidades, então o lucro máximo que a empresa poderá obter é:

(A) R$ 566.000,00
(B) R$ 423.000,00
(C) R$ 653.000,00
(D) R$ 745.000,00
(E) R$ 358.000,00

Gabarito:

A

Resolução:

De acordo com a função, o lucro máximo será dado por:


Portanto, o lucro máximo será de R$ 566.000,00. 

---

Questão 13

Uma padaria oferece a seguinte promoção: “Compre x kg de pão e ganhe (4x)% de desconto no preço a ser pago”, (para 0 < x < 15). Sem desconto, o preço do quilo de pão é de R$ 7,00. Na ilustração a seguir, temos o preço p pago, em reais, em termos da quantidade de pão comprada x, em kg.



Se um consumidor vai comprar 11 kg de pão, pagando o preço sem desconto, que outra quantidade de pão, com desconto, ele poderia comprar, pagando a mesma quantia?

A) 13,2 kg
B) 13,4 kg
C) 13,6 kg
D) 13,8 kg
E) 14,0 kg

Gabarito:

E

Resolução:

(Resolução oficial)
 
Para uma compra de x kg o consumidor pagará . O gráfico desta função é uma parábola tendo como eixo a reta x = = 12,5.
Como valores da abscissa equidistantes do eixo correspondem a ordenadas iguais, temos que o valor x = 14 tem a mesma imagem que x = 11.

---

Questão 14

A função f =   tem como gráfico uma parábola e satisfaz f(x + 1) - f(x) = 6x - 2, para todo número real x. Então, o menor valor de f(x) ocorre quando x é igual a:

a) 
b)  
c)  
d) 0
e) - 

Gabarito:

C

Resolução:

Se o gráfico de f é uma parábola, podemos dizer que f(x) = ax² + bx + c, com a, b e c reais. Assim,


Portanto, a função tem ponto de mínimo em  

---

Questão 15

A idade de Paulo, em anos, é um número inteiro par que satisfaz a desigualdade x² – 32x + 252 < 0. O número que representa a idade de Paulo pertence ao conjunto

A) {12, 13, 14}.
B) {15, 16, 17}.
C) {18, 19, 20}.
D) {21, 22, 23}.

Gabarito:

B

Resolução:

Resolvendo a equação x² – 32x + 252 = 0, encontramos x = 14 e x = 18 como raízes.

Assim, a solução da inequação x² – 32x + 252 < 0 é 14 < x < 18.

Como x é um número par, temos x = 16, que pertence ao conjunto representado na alternativa B.

---

Questão 16

Considere, na figura a seguir, a região sombreada limitada por uma reta e pelo gráfico de uma função quadrática.



As coordenadas dos pontos (x, y) dessa região verificam as desigualdades

a) x² – 4x + 1 ≤ y ≤ 1 – x.
b) x² – x + 4 ≥ y ≥ 1 – x.
c) x² – 2x + 1 ≤ y ≤ 1 – x.
d) x² – 4x – 1 ≥ y ≥ 1 – x.
e) x² – 2x + 1 ≥ y ≥ 1 – x.

Gabarito:

A

Resolução:

O vértice da parábola é o ponto (2, –3). Se considerarmos f(x) = ax² + bx + c a função do gráfico, temos:

  .

Além disso, a parábola passa pelo ponto (0,1), logo:

f(0) = 1 ⇒ a · 0² + b · 0 + c = 1 ⇒ c = 1;
f(2) = –3 ⇒ a · 2² + b · 2 + c = -3 ⇒ 4a + 2(–4a) + 1 = –3 ⇒ –4a = –4 ⇒ a = 1, b = –4. 

Portanto, a função é dada por f(x) = x² – 4x + 1.

Como a reta passa pelos pontos (1,0) e (0,1), seu coeficiente angular é  e seu coeficiente linear é 1. Assim, sua equação é y = 1 – x.

Assim, a região sombreada é solução da desigualdade x² – 4x + 1 ≤ y ≤ 1 – x.

---

Questão 17

Dada a função real de variável real, f(x) = ax² + bx + c, em que a, b e c são números reais, o gráfico desta função corresponde a uma parábola P.

Sabendo que:

a) Os pontos de coordenadas cartesianas (1,15) e (3,9) pertencem à parábola P.

b) Os números a, b e c, nesta ordem, formam uma progressão aritmética.

Determine todos os valores da variável x que sejam números inteiros e de forma que a imagem de cada um desses valores, f(x), seja um número positivo.

Gabarito:

Sabe-se que:



Fazendo (III) – (I), encontramos b = 5. Substituindo em (I) e (II) e fazendo (II) – (I), encontramos a = –2 e c = 12.
Assim, a função é dada por f(x) = –2x² + 5x + 12, e suas raízes são x =   e x = 4.
Logo, como o gráfico da função é uma parábola de concavidade voltada para baixo, f(x) > 0 quando  < x < 4. Os valores inteiros de x que satisfazem a condição são {–1, 0, 1, 2, 3}.

---

Questão 18

Determine para quais valores reais de x a inequação é satisfeita:

< 1

Gabarito:

(Resolução oficial)

 –1 < 0 ou  < 0

Assim a condição vale para x < 1 ou 3 < x < 4

---

Questão 19

Na figura a seguir temos os gráficos das funções custo (C) e receita de vendas (R) diárias de um produto de uma empresa, em função da quantidade produzida e vendida, em número de unidades.



Podemos afirmar que

A) o lucro será nulo somente se a quantidade produzida e vendida for 30.
B) haverá prejuízo somente quando a quantidade produzida e vendida for menor que 10.
C) o prejuízo máximo será de $ 400.
D) o lucro máximo é superior a $ 800.
E) haverá lucro positivo quando a quantidade produzida e vendida estiver entre 10 e 30.

Gabarito:

E

Resolução:

(Resolução oficial)

• A alternativa A é incorreta, pois o lucro é nulo também quando a quantidade produzida e vendida é 10.
• A alternativa B é incorreta, pois há prejuízo também para quantidades superiores a 30.
• A alternativa C é incorreta, pois, para a quantidade 50, o prejuízo é maior que $ 400.
• A alternativa D é incorreta, pois o lucro (R – C) é inferior a $ 200.
• A alternativa E é correta, pois o lucro será positivo (R – C > 0) para quantidades entre 10 e 30.

---

Questão 20

O lucro, em reais, na venda de um produto é dado pela expressãoL(X) = –X² + 18X – 32, onde X representa a quantidade vendida.
O lucro máximo que pode ser obtido na venda deste produto é de

a) R$ 49,00.
b) R$ 54,00.
c) R$ 63,00.
d) R$ 72,00.

Gabarito:

A

Resolução:

O lucro máximo é obtido encontrando o X máximo:


L(9) = –9² + 18 · 9 – 32 = –81 + 162 – 32 = 49 reais.

---

Questão 21

O transporte aéreo de pessoas entre duas cidades A e B é feito por uma única companhia em um único voo diário. O avião utilizado tem 180 lugares, e o preço da passagemp relaciona-se com o número x de passageiros por dia pela relação p = 300 – 0,75x.

A receita máxima possível por viagem é:

A R$ 30.000,00
B R$ 29.900,00
C R$ 29.800,00
D R$ 29.700,00
E R$ 29.600,00

Gabarito:

D

Resolução:

A receita é dada por:
 
R(x) = (300 - 0,75x)x = -0,75x + 300x.
 
O número de passageiros que gera receita máxima é:
 

 
Como só há 180 lugares no avião, a receita máxima é:
 
R(180) = -0,75 · 180² + 300 · 180 = R$29.700,00.

---

Questão 22

Para acompanhar o nível da água (H) do reservatório que abastece certa cidade, foram  feitas medições desse nível em um período de 12 dias, com apenas uma medição em cada dia.

Após essas medições, constatou-se que esse nível, medido em metros, podia ser calculado por meio da função  , onde t é o número de dias decorridos a partir do início do período de observação. Com base nessas informações, identifique as afirmativas corretas:

I. O nível máximo atingido no reservatório, ao longo do período de observação, foi de 7 metros.

II. O nível da água do reservatório, no final do período de observação, era de 6 metros.

III. O nível da água do reservatório, durante os últimos quatro dias do período de observação, foi sempre decrescente.
IV. O nível da água do reservatório, durante os primeiros dez dias do período de observação, foi sempre crescente.

V. O nível da água do reservatório, no quarto dia do período de observação, foi o mesmo do último dia.

Gabarito:

I - II - III - V

Resolução:

I. Verdadeira
De fato, o nível máximo se dá em  . Portanto, 
 
II. Verdadeira
Em t = 12, temos: 
III. Verdadeira
O gráfico que representa a função H(t) é uma parábola de concavidade voltada para baixo, cujo ponto máximo é o ponto (8,7). Assim, após o 8° dia (t = 8), o nível da água decresce.

IV. Falsa
O gráfico que representa a função H(t) cresce no intervalo 0 < t  8 e decresce a partir de t = 8.

V. Verdadeira

---

Questão 23

Quando o preço da diária de estacionamento de um carro é R$ 20,00, observa-se que 62 carros estacionam por dia. Se o preço da diária subir para R$ 28,00, o número de carros que estacionam reduz-se para 30. Admitindo que o número de carros que estacionam por dia seja função do primeiro grau do preço da diária, então o preço que maximiza a receita diária do estacionamento é:

A) R$ 17,75
B) R$ 18,00
C) R$ 18,25
D) R$ 18,50
E) R$ 18,75

Gabarito:

A

Resolução:

(Resolução oficial)

Preço (x)	Quantidade (y)
20	62
28	30

• Coeficiente angular da reta: 
• Equação da reta: y – 62 = –4(x –20) ⇒ y = –4x + 142
• Receita diária: R = x · y = x(–4x + 142) = –4x² + 142x
• Valor de x que maximiza a receita (x do vértice) : 
• Preço que maximiza a receita : 17,75.
• Número de carros: y = –4(17,75) + 142 = 71

---

Questão 24

Resolva a inequação:

(n – 9) (n² + 4n + 5) (n + 7) < 0

no conjunto dos números reais. A soma dos números inteiros que satisfazem a inequação acima é:

(A) 3
(B) 15
(C) 12
(D) –4
(E) –9

Gabarito:

B

Resolução:

Veja:
  <  0
Estudando separadamente os sinais, temos:
Função I: crescente com raiz em n = 9.
Função II: não possui raiz real, é sempre positiva.
Função III: crescente com raiz em n = –7.

Portanto, a solução é o intervalo ]–7, 9[. A soma dos números inteiros pertencente ao intervalo é:
– 6 – 5 – 4 – 3 – 2 –1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 15.

---

Questão 25

Sabendo que a curva a seguir é a parábola de equação y = x² – x – 6, a área do triângulo ABC é:

(A) 4
(B) 6
(C) 9
(D) 10
(E) 12

Gabarito:

C

Resolução:

(Resolução oficial)

As raízes da parábola são –2 e 3, então a distância entre B e C é 3. O ponto A é (0,-6).
A área do triângulo é  .

---

Questão 26

Se x + y = 2 então o menor valor numérico que a expressão x² + 3y² pode assumir é

A) 3.

B) 8/3.

C) 7/3.

D) 2,9.

Gabarito:

A

Resolução:

Fazendo x = 2 – y, temos:

A expressão pode ser representada como uma função quadrática f(y), cujo valor mínimo é dado por:

---

Questão 27

Três empresas A, B e C comercializam o mesmo produto e seus lucros diários (L(x)), em reais, variam de acordo com o número de unidades diárias vendidas (x) segundo as relações:



Determine em que intervalo deve variar o número de unidades diárias vendidas para que o lucro da empresa B supere os lucros da empresa A e da empresa C.

Gabarito:

Para que o lucro da empresa B supere o da empresa A, temos:
 
 < 0  2 < x < 20
 
O lucro da empresa B, conforme o gráfico, supera o lucro da empresa C no intervalo em que x < 15. A curva de L_C está representada em verde (constante até x = 15 e crescente em x > 15), e de L_B em vermelho. Então:
 
L_B > L_C
10x + 20 > 120
10x > 100
x > 10 
 
Portanto, o lucro da empresa B supera os lucros das outras duas empresas se:
 
2 < x < 20
x > 10
 
Ou seja, 10 < x < 20.

---

Questão 28

Uma editora imprime 1.000 cópias de certo livro ao preço de R$ 10,00 por livro. Se o número de cópias exceder 1.000, a cada aumento de 100 cópias, o preço por livro diminui de R$ 0,20; por exemplo, para a impressão de 1.200 cópias, o preço por livro é de R$ 9,60. Se, para a editora, o preço de custo de cada livro é de R$ 6,00, qual o maior lucro que a editora pode obter com a impressão deste livro?

A) R$ 4.500,00
B) R$ 4.600,00
C) R$ 4.700,00
D) R$ 4.800,00
E) R$ 4.900,00

Gabarito:

A

Resolução:

(Resolução oficial)

Se o número de cópias varia de x unidades de 100, a editora imprimirá (1.000 + 100x) cópias, e o preço de cada cópia será de (10 – 0,2x) reais. O lucro por cópia será de 10 – 0,2x – 6 = 4 – 0,2x reais, e o lucro total será de (1.000 + 100x)(4 – 0,2x). Essa função quadrática assume seu valor máximo para x =  = 5 e o valor máximo é 1.500 · 3 = 4.500 reais.

---

Questão 29

Uma empresa observou que a quantidade Q, em toneladas, de carne que ela exporta em uma semana é dada por Q(x) = ax² + bx + c, sendo a, b e c constantes, e x o preço do produto, em reais, por quilograma, praticado na referida semana, sendo 3 ≤ x ≤ 8. Sabe-se que para o preço de R$3,00, a quantidade é de 7,5 toneladas, que para R$4,00, a quantidade é máxima e que para R$8,00, a quantidade é zero.

Com base nessas informações, pode-se afirmar:

(01) A quantidade Q(x) diminui à medida que o preço x aumenta.
(02) Para o preço de R$5,00, a quantidade é de 7,5 toneladas.
(04) A constante  é igual a −8.
(08) Existe um único preço x, 3 ≤ x ≤ 8, tal que Q(x) = 3,5.
(16) Para cada preço x, 3 ≤ x ≤ 8, tem-se Q(x) = −x² + 8x.

Gabarito:

14

Resolução:

02 + 04 + 08 = 14

Sabe-se que:

Q(3) = 7,5
x_v = 4
Q(8) = 0

Assim,


Resolvendo o sistema, encontramos a =  , b = 4 e c = 0. Portanto, Q(x) =  .

(01) Falsa

Se x varia de 3 a 8, e o vértice está em x = 4, a parábola que representa a função é voltada para baixo, crescendo de 3 a 4 e decrescendo de 4 a 8.

(02) Verdadeira

(04) Verdadeira


(08) Verdadeira

Como 3 ≤ x ≤ 8, só existe um valor para x tal que Q(x) = 3,5.

(16) Falsa
Como visto, Q(x) =  .

---

Questão 30

Uma fábrica de calçados produz um determinado tipo de sandália, e o custo total de fabricação é de um custo mensal fixo de R$ 4000,00 mais R$ 8,00 para cada par produzido. O preço de venda de cada par depende da quantidade produzida e é dado pela função p(x) = 40 − λ x, sendo x a quantidade de pares produzidos e vendidos e λ é o desconto dado em cada par de sandálias.
 
Considerando-se que o lucro mensal, L(x), da empresa é a diferença entre o faturamento e o custo total de fabricação, calcule o valor do desconto λ para que a empresa obtenha um lucro máximo vendendo 3.200 pares de sandálias produzidos.

Gabarito:

(Resolução oficial)
 
O custo de fabricação de x pares de sandálias é dado por:

C(x) = 4000 + 8x

O faturamento pela venda de x pares de sandálias é dado por:

F(x) = x · p(x) = x (40 − λ x) = 40x − λx²
 
Assim, o lucro da fábrica, em função do números de pares produzidos e vendidos, é dado por:

L(x) = F(x) − C(x) = 40x − λx² − (4000 + 8x)
L(x) = 40x − λx² − 4000 − 8x
L(x) = − λx² + 32x − 4000
 
Como a venda de 3.200 pares de sandálias significa o lucro máximo, tem-se:


Portanto, valor do desconto λ é igual a 0,005.

---

Questão 31

Uma partícula tem sua trajetória retilínea definida pela função que relaciona a distância S, em metros, da partícula a um ponto fixo e o tempo t, em segundos, dada por:

S(t) = 45 + 40 · t – 5 · t²

Determine quantos metros foram percorridos entre 3 segundos e 6 segundos a partir do instante inicial zero.

Gabarito:

A partícula partiu de S = 45 m; em 3 segundos estava em S = 120 m e, em 6 segundos, estava de volta a S = 105 m. Isso significa que foi ao ponto S máximo e voltou. De acordo com a função, o ponto S máximo é:

Portanto, a partícula foi de S = 120 m a S = 125 m (percorrendo 5 m), e retornou de S = 125 m a S = 105 m (percorrendo 20 m), totalizando 25 metros.

---

Questão 32

Quantas soluções inteiras a inequação x² + x – 20   0 admite?

(A) 2

(B) 3

(C) 7

(D) 10

(E) 13

Gabarito:

D

Resolução:

Portanto, exitem 10 soluções inteiras possíveis no intervalo entre –5 e 4.

---

Questão 33

A figura a seguir mostra um retângulo DFCE inscrito no triângulo retângulo ABC, cujos catetos têm medidas AC = 5 e BC = 10.

Então, a área máxima desse retângulo é:

A) 12,5

B) 13,5

C) 14,5

D) 15

E) 18

Gabarito:

A

Resolução:

Sejam x e y as dimensões do retângulo.


Como os triângulos ADF e ABC são semelhantes, temos:

Assim, a área A(x) do retângulo é A(x) = x · y = x(10 – 2x) = –2x² + 10x.

Trata-se de uma função do 2^o grau, cuja ordenada do vértice da parábola que a representa é a área máxima:


A área máxima é igual a 12,5.

---

Questão 34

A figura a seguir representa um quadrado MNPQ inscrito no quadrado ABCD cuja área mede 16 cm².

 

Determine:

a) as medidas de AM e MB para que a área do quadrado MNPQ seja igual a 9 cm²;

b) as medidas de AM e MB para que a área do quadrado MNPQ seja a menor possível.

Justifique suas respostas.

Gabarito:

(Resolução oficial)

a) Os triângulos retângulos AMQ e BNM possuem ângulos correspondentes congruentes e hipotenusas de mesma medida. Portanto, eles são congruentes e, assim,  . Como cada lado do quadrado ABCD tem medida 4 cm, escrevendo-se x =  , tem-se   .

Aplicando-se o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo AMQ, tem-se

x² + (4 − x)² = 9

Logo, x = 2 –   ou x = 2 +  . Portanto,   cm e   cm ou   cm e   cm.

b) A área A(x) do quadrado MNPQ em função da medida x do segmento AM é dada por

A(x) = x² + (4 − x)² = 2x² − 8x +16, com 0 ≤ x ≤ 4.

O valor mínimo de A é atingido na abscissa do vértice da parábola que é gráfico de A. Logo,   = 2 cm.

---

Questão 35

A quantidade mensal vendida x de um produto relaciona-se com seu preço de venda p por meio da equação: p = 100 – 0,02x . A receita mensal será maior ou igual a 80.000, se e somente se:

Gabarito:

E

Resolução:

A receita mensal depende da quantidade x de produtos vendidos, logo podemos representá-la pela função
f(x) = x(100 – 0,02x) = –0,02x² + 100x.

Então, de acordo com o enunciado, 
Resolvendo esta inequação do 2º grau, obtemos a seguinte representação:


Portanto,  .

---

Questão 36

Cada unidade de um brinquedo é vendida pela indústria que o fabrica por R$ 40,00 e a esse preço são vendidas, semanalmente, 500 unidades. Empiricamente sabe-se que, a cada R$ 1,00 de aumento no preço unitário do brinquedo, as vendas semanais diminuirão em 10 unidades.

A) Nessas condições, qual o valor da receita semanal máxima dessa indústria?

B) Se o custo médio semanal de fabricação de x unidades desse brinquedo é dado pela expressão:   , determine o lucro semanal obtido pela indústria na condição de receita máxima. (Entende-se por custo médio a razão entre o custo total de produção e o número de unidades produzidas.)

Gabarito:

A) Seja p(x) o preço do brinquedo de acordo com a quantidade x de unidades vendidas. A função é linear, na forma p(x) = ax + b, já que a quantidade vendida decresce linearmente conforme aumenta o preço:
p(500) = 40 = 500a + b
p(490) = 41 = 490a + b
Subtraindo uma equação da outra, obtemos    e b = 90. Então  .
A receita R(x) é dada pelo produto entre o preço p(x) e a quantidade vendida x:

Assim, a receita máxima será a ordenada do vértice da parábola que representa a função R(x):
x máximo:   unidades.
R(x) máximo: 
A receita máxima é R$ 2.025,00.

B) O custo total de produção será dado pelo produto do custo médio pela quantidade produzida (que é de 450 unidades na situação de receita máxima):
.
O lucro será 20.250 – 17.400 = R$ 2.850,00.

---

Questão 37

Considere a função f: IR →IR, f(x) = a · (x² – x), a   IR, a > 0, e P um ponto que percorre seu gráfico. Se a distância mínima de P à reta de equação y = –2 é igual a  , conclui-se que a vale:

(A)  .

(B) 2.

(C)  .

(D)  .

(E) 8.

Gabarito:

D

Resolução:

A função f(x) = ax² – ax tem como raízes x = 0 e x = 1. Sendo a > 0, seu gráfico é uma parábola de concavidade para cima, cujo vértice representa o ponto de menor distância em relação à reta y = –2.

Assim:


Logo,  .

---

Questão 38

Dizemos que x₀  IR é ponto fixo de uma função f : IR → IR se f(x₀) = x₀.

a) Verifique se a função f : IR → IR , definida por f(x) = x² – 4x + 6, possui ponto fixo e, em caso afirmativo, determine seu(s) ponto(s) fixo(s).

b) Seja g : IR → IR uma função da forma g(x) = ax + b. Determine a e b para que g admita dois pontos fixos x₁ e x₂ distintos.

Gabarito:

(Resolução oficial)

a) Seja x₀ um ponto fixo da função f dada. Então

f(x₀) =   – 4x₀ + 6 = x₀ →   – 5x₀ + 6 = 0.

O conjunto solução da última equação é {2,3}.
Portanto a função f dada possui dois pontos fixos: 2 e 3.

b) Sejam x₁ e x₂ pontos fixos distintos da função g. Então

g(x₁) = ax₁ + b = x₁ → (a – 1) x₁ + b = 0 (1)
g(x₂) = ax₂ + b = x₂ → (a – 1) x₂ + b = 0 (2)

Fazendo (2) – (1) obtém-se: (a – 1) (x₂ – x₁) = 0.

Como X₁ ≠ X₂ segue da última igualdade que a = 1.
Substituindo o valor de a, encontrado, em (1) ou (2) encontra-se b = 0.

---

Questão 39

Em 1772, o matemático Euler observou que, ao se inserir os números inteiros de 0 a 39 na fórmula x² + x + 41, obtém-se uma lista de 40 números primos. No plano de coordenadas cartesianas xOy, considerando y = g(x) = x² + x + 41, conclui-se que os pares (N, g(N)), para 0 ≤ N ≤ 39, pertencem a uma parábola que

A intercepta o eixo das ordenadas em um número composto.

B ilustra uma função crescente no intervalo [0, 39].

C intercepta o eixo das abscissas em dois números primos.

D tem vértice em um dos pares ordenados obtidos por Euler.

Gabarito:

B

Resolução:

• B – O gráfico da função g(x) é uma parábola de concavidade para cima (a > 0).
A parábola intercepta o eixo das ordenadas no ponto 41 (que é primo). (Alternativa A está incorreta).
Como o discriminante das raízes é 1 – 4 × 1 × 41 = –163 < 0, esse gráfico não intercepta o eixo das abscissas (parábola flutuante acima do eixo). (Alternativa C está incorreta).
O ponto mínimo dessa parábola se dá em g(x) tal que  (O vértice tem abscissa negativa). (Alternativa D está incorreta)
O intervalo –0,5 < x é posterior ao ponto mínimo, ou seja, em [0; 39] a parábola é crescente. (Alternativa B correta).

---

Questão 40

Em uma fábrica, o custo diário com matéria-prima, para produzir x unidades de um produto, é dado pela equação C(x) = 10x . A quantidade de unidades produzidas desse produto, após t horas, 0 ≤ t ≤ 8 , por sua vez, é dada por Q(t) = 6t –   t².

A) Preencha as tabelas de acordo com as expressões das funções Q(t) e C(x) dadas, e explicite os cálculos efetuados.

x	C
	100
16
18

t	Q
2
4
	18

B) Construa o gráfico da função composta C(Q(t)) , que corresponde ao custo em função das horas(t).

Gabarito:

(Resolução oficial)

A) 

Resolvendo a equação, encontramos t = 6 .

t	Q
2	10
4	16
6	18

C(x) = 10x

100 = 10x → x = 10, C(16) = 10 · 16 = 160 e C(18) = 10 · 18 = 180.

x	C
10	100
16	160
18	180

B) O domínio da função composta é dado por 0 ≤ t ≤ 8. Pelas tabelas apresentadas, temos: C(Q(2)) = 100, C(Q(4)) = 160, C(Q(8)) = 160 · C(Q(0)) = C(0) = 0. Calculando o vértice da função composta, obtemos o ponto (6,180). A função composta é uma função quadrática, cujo gráfico está apresentado a seguir.

Outra forma de resolver:

 , no domínio de 0 ≤ t ≤ 8. C(Q(0)) = 0, C(Q(8)) = 160. O vértice é o ponto (6,180).

---

Questão 41

Numa empresa, o salário de um grupo de empregados é R$ 380,00, mais uma quantia variável correspondente a  da produção de um dos produtos da empresa, cuja produção foi estimada para daqui a t anos pela função p(t) = 50t² – 50t + 100. Daqui a quantos anos o salário deste grupo de funcionários aumentará 50% em relação ao valor atual?

a) 2 anos

b) 4 anos

c) 8 anos
d) 6 anos
e) 5 anos

Gabarito:

E

Resolução:

O valor do salário atual (t = 0) é   reais.
Assim, para que o salário seja 50% superior ao atual, temos:

Como t > 0, pode-se afirmar que o salário aumentará 50% em relação ao valor atual daqui a 5 anos.

---

Questão 42

O desenvolvimento da gestação de uma determinada criança, que nasceu com 40 semanas, 50,6 cm de altura e com 3 446 gramas de massa, foi modelado, a partir da 20ª semana, aproximadamente, pelas funções matemáticas

h(t) = 1,5t – 9,4 e

p(t) = 3,8t² – 72t + 246,

onde t indica o tempo em semanas, t ≥ 20, h(t) a altura em centímetros e p(t) a massa em gramas. Admitindo o modelo matemático, determine quantos gramas tinha o feto quando sua altura era 35,6 cm.

Gabarito:

Calculando o número de semanas quando a altura era 35,6 cm:

   semanas.

Para saber quantos gramas tinha o feto nessa semana, basta substituir na fórmula:

---

Questão 43

O gráfico de uma função quadrática em um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais xOy passa pelos pontos (−2,1), (−1, 0) e (2, 0). Apresente

a) o esboço do gráfico da função quadrática, indicando as coordenadas de três pontos pertencentes ao gráfico;

b) a expressão da função quadrática;

c) as coordenadas do vértice da parábola.

Gabarito:

a) Esboço do gráfico:

b) Se é quadrática, a função pode ser expressa inicialmente como f(x) = ax² + bx + c. Pelos pontos dados, temos:
f(–2) = 1 → 4a – 2b + c = 1
f(–1) = 0 → a – b + c = 0
f(–2) = 1 → 4a + 2b + c = 0
Resolvendo o sistema formado pelas três equações, encontra-se a =  , b =   e c =  .
Logo, a função é 
c) 

O vértice da parábola é o ponto  .

---

Questão 44

Para atrair novos clientes, um supermercado decidiu fazer uma promoção reduzindo o preço do leite. O gerente desse estabelecimento estima que, para cada R$ 0,01 de desconto no preço do litro, será possível vender 25 litros de leite a mais que em um dia sem promoção. Sabendo que, em um dia sem promoção, esse supermercado vende 2600 litros de leite ao preço de R$ 1,60 por litro:

a) qual é o valor arrecadado por esse supermercado com a venda de leite em um dia sem promoção?

b) qual será o valor arrecadado por esse supermercado com a venda de leite em um dia, se cada litro for vendido por R$ 1,40?

c) qual é o preço do litro de leite que fornece a esse supermercado o maior valor arrecadado possível? De quanto é esse valor arrecadado?

Gabarito:

a) (observação: valor arrecadado = preço unitário × quantidade vendida)

Multiplicar a quantidade de litros de leite vendida pelo preço de cada litro, ou seja, 2600 × R$ 1,60 = R$ 4160,00.

b) Observar que quando é dado um desconto de R$ 0,20, será possível vender 20 × 25 = 500 litros de leite a mais que em um dia sem promoção. Neste caso, será possível vender 2600 + 500 = 3100 litros a R$ 1,40, e o valor arrecadado será de 3100 × R$ 1,40 = R$ 4340,00

c) O valor arrecadado V(x) é função do desconto x dado por  , 

sendo o valor do desconto x dado em reais e  . Como V é uma função quadrática com coeficiente negativo no termo de ordem 2, então o valor máximo de V(x) é atingido no vértice da parábola correspondente, ou seja, em 
e assim

---

Questão 45

Quando o preço do ingresso para uma peça de teatro é p reais, o número de pessoas que comparecem, por apresentação, é x. Sabe-se que p relaciona-se com x mediante a equação p = 800 – 4x.

Nessas condições, a receita máxima que se pode obter, por apresentação, é:

A R$ 32.000,00

B R$ 36.000,00

C R$ 40.000,00

D R$ 44.000,00

E R$ 48.000,00

Gabarito:

C

Resolução:

(Resolução oficial.)

A receita por peça é dada por R(x) = p · x = (800 – 4x)x.

Portanto R(x)  –4x² +800x, isto é, a receita é uma função quadrática de x, cujo gráfico é uma parábola com concavidade voltada para baixo. Assim, seu ponto de máximo é a abscissa do vértice da parábola, isto é:

Portanto a receita máxima é R(100)= – 4(100²) + 800 · (100) = 40 000.

---

Questão 46

Quando o preço do sanduíche em uma lanchonete popular é de R$ 2,00 a unidade, são vendidas 180 unidades por dia. Uma pesquisa entre os clientes da lanchonete revelou que a cada aumento de R$ 0,10 no preço do sanduíche, o número de unidades vendidas por dia diminui de 5. Por exemplo, se o preço do sanduíche for de R$ 2,20, o número de unidades vendidas por dia será 170.

Ajustando adequadamente o preço do sanduíche, qual o maior valor que a lanchonete poderá arrecadar por dia, com a venda dos sanduíches?

A) R$ 380,00

B) R$ 384,00

C) R$ 388,00

D) R$ 392,00

E) R$ 396,00

Gabarito:

D

Resolução:

(Resolução oficial.)

Para x variações de R$ 0,10 no preço do sanduíche, o valor arrecadado pela lanchonete será de (2 + 0,1x)(180 – 5x) que tem seu valor máximo para x =  = 8 e o valor máximo será de 2,8 · 140 = 392 reais.

---

Questão 47

Quando o preço do sanduíche em uma lanchonete popular é de R$ 2,00 a unidade, são vendidas 180 unidades por dia. Uma pesquisa entre os clientes da lanchonete revelou que a cada aumento de R$ 0,10 no preço do sanduíche, o número de unidades vendidas por dia diminui de 5. Por exemplo, se o preço do sanduíche for de R$ 2,20, o número de unidades vendidas por dia será 170.

Qual dos gráficos a seguir representa o valor arrecadado pela lanchonete, diariamente, com a venda dos sanduíches, em função do preço p do sanduíche? O preço do sanduíche e o valor arrecadado estão em reais.

Gabarito:

B

Resolução:

(Resolução oficial.)

O preço p do sanduíche será p = 2 + 0,1x, com x sendo o número de variações de R$ 0,10, e o valor arrecadado será de  = p(280 – 50p) = –50p² + 280p, que representa uma parábola que intercepta o eixo das abscissas nos pontos 0 e 5,6 e tem vértice no ponto (2,8, 392).

---

Questão 48

Sejam f(x) = 2x – 9 e g(x) = x² + 5x + 3. A soma dos valores absolutos das raízes da equação f(g(x)) = g(x) é igual a

a) 4

b) 5

c) 6

d) 7

e) 8

Gabarito:

D

Resolução:

Calcularemos primeiramente,
f(g(x)) = g(x) ⇔ f(x² + 5x + 3) = x² + 5x + 3 ⇔ (2x² + 10x + 6) – 9 – x² – 5x – 3 = 0 – x² + 5x – 6 = 0
Resolvendo x² + 5x – 6 = 0, utilizando soma e produto, temos que x₁= –6 e x₂ = 1.
Assim, a soma dos valores absolutos (módulos) das raízes desta equação é:

---

Questão 49

Um mercado compra uma caixa de maçã por R$ 90,00 e, após a compra, retira 12 maçãs estragadas da caixa. Para revender esta caixa a R$ 168,00, ele aumenta o preço de custo de cada maçã, não estragada, em R$ 0,50. Com base nestas informações, é CORRETO afirmar que o número original de maçãs na caixa é:

a) 200

b) 150

c) 225

d) 180

Gabarito:

D

Resolução:

Seja x o número original de maçãs na caixa. Temos, então:


Portanto, havia originalmente 180 maçãs na caixa.

---

Questão 50

Um retângulo com base medindo 16 e altura 12 deve ser dividido em um quadrado, dois trapézios congruentes e um trapézio isósceles, como ilustrado na figura a seguir. Escolhendo adequadamente o lado do quadrado, qual o valor mínimo que a soma das áreas do quadrado e do trapézio isósceles pode assumir?

a) 90.

b) 92.

c) 94.

d) 96.

e) 98.

Gabarito:

C

Resolução:

(Resolução oficial.)
Se x é a medida do lado do quadrado, então, a soma das áreas do quadrado e do trapézio isósceles (que tem bases medindo 16 e x e altura 12 – x) é x² + (x + 16) · (12 – x)/2 = x²/2 – 2x + 96 = (x² – 4x + 192)/2 = (x – 2)²/2 + 94. O valor mínimo da soma ocorre para x = 2, e o valor mínimo será 94.

---

Questão 51

Uma editora decidiu disponibilizar o lançamento de um novo livro em duas versões: uma mais elaborada, com capa dura, e outra, popular, com capa de papelão. Uma pesquisa contratada pela editora registrou que, no dia do lançamento, o lucro da editora poderia ser estimado pela função:

L = (25 – 0,5x)x + (30 – y) y – (50 – 0,5x – y)²

em que x é o preço do exemplar de capa dura e y, o preço do exemplar com capa de papelão, em reais. O departamento de produção da editora decidiu que o exemplar de capa dura deveria custar o dobro do preço do exemplar de capa de papelão. Buscando obter o maior lucro possível, o diretor de vendas estabeleceu estes preços para as duas versões:

capa dura → R$ 50,00
capa de papelão → R$ 25,00

Foi correta a decisão do diretor de vendas? Por quê?

Gabarito:

Como x = 2y, substituindo na expressão do lucro, teremos:

L = (25 – y)2y + (30 – y) y – (50 – y – y)²

L = –7y² + 280y – 2500 (Parábola com concavidade voltada para baixo)

Assim, o ponto de máximo é dado pela abscissa do vértice, isto é:

Como x = 2y ⇒ x = 40.

A decisão do diretor de vendas não foi correta. Ele deveria ter estabelecido os preços:
capa dura: R$ 40,00; capa de papelão: R$ 20,00.

---

Questão 52

Uma empresa recebeu uma verba de R$ 1.600,00 que deve ser utilizada integralmente para fabricar bolas de tênis. A empresa possui máquinas, cada uma das quais é capaz de produzir, automaticamente, vinte bolas por hora. O custo de preparar e programar as máquinas é de R$ 80,00 por máquina, para qualquer tempo de utilização. Além disso, são necessários dois trabalhadores para supervisionar todas as máquinas, cada um dos quais recebe R$ 20,00 por hora. Quantas máquinas devem ser usadas para produzir o maior número de bolas possível? Quantas bolas de tênis serão produzidas com essa verba?

Gabarito:

Seja x o número de máquinas utilizadas e y o número de horas empregadas:

Temos:

(I): 80x + 2(20) y = 1.600 ⇒ y = 40 – 2x

(II): Queremos maximizar a função N = 20xy

Substituindo (I) em (II), teremos:

N = 20x(40 – 2x) = –40x² + 800x

O valor de x que maximiza N é a abscissa do vértice da parábola dada por N, isto é:

De (I) obtemos que y = 40 – 2(10) = 20.

Conclusão: precisamos de 10 máquinas trabalhando durante 20 horas e serão fabricadas

N = 20 · 10 · 20 = 4000 bolas de tênis.

---

Questão 53

Uma placa retangular de madeira, com dimensões 10  20 cm, deve ser recortada conforme mostra a figura a seguir. Depois de efetuado o recorte, as coordenadas do centro de gravidade da placa (em função da medida w) serão dadas por


 

em que x_CG é a coordenada horizontal e y_CG é a coordenada vertical do centro de gravidade, tomando o canto inferior esquerdo como a origem.
 

a) Defina A(w), a função que fornece a área da placa recortada em relação a w. Determine as coordenadas do centro de gravidade quando A(w) = 150 cm².
 

b) Determine uma expressão geral para w(x_CG), a função que fornece a dimensão w em relação à coordenada x_CG , e calcule y_CG quando x_CG =  cm.

Gabarito:

(Resolução oficial)

a) Quando w = 0, a área é igual a 20 × 10 = 200 cm². A cada aumento de 1 cm em w, há uma redução de 5 cm² na área. Assim, temos A(w) = 200 – 5w. Quando A(w) = 150, temos 200 – 5w = 150, ou seja, w =  = 10 cm. Nesse caso,


Resposta: As coordenadas são x_CG=  cm e y_CG =  cm.

b) Observamos que (80 − 2w) × x_CG = 400 − 15w. Logo, (15 – 2x_CG)w = 400 – 80x_CG, ou seja, w(x_CG) =  .
Se x_CG =  , então w =  =  = 15. Assim, y_CG(15) =  =  =  = 8,5 cm.

Resposta: A expressão geral da função é w(x_CG) =  . Quando a coordenada x_CG é igual a  cm, a coordenada y_CG mede  cm (ou 8,5 cm).

---

Questão 54

A curva da figura a seguir representa parte do conjunto dos pontos (x, y) que satisfazem a equação y² – 4y – 4x = 0. Com base nesses dados, analise as afirmações seguintes.


 

0-0) Para cada y real, existe um real x tal que (x, y) está na curva.
 

1-1) A curva é o gráfico da função , com domínio os reais ≥ –1.
2-2) A parte da curva em traço pontilhado ilustra o gráfico da função  com domínio os reais ≥ –1.

3-3) A parte da curva em traço contínuo ilustra o gráfico da função  com domínio os reais ≥ –1.
4-4) Não é possível expressar x como função de y.

Gabarito:

VFVVF

Resolução:

(Resolução oficial)
 
Completando quadrados, obtemos y² – 4y + 4 = 4x + 4 ou (y – 2)² = 4 (x + 1). Portanto,  , que são duas funções de x.

---

Questão 55

A parábola determinada pela função f: IR→IR tal que f(x) = ax² + bx + c, com a ≠ 0, tem vértice de coordenadas (4, 2). Se o ponto de coordenadas (2, 0) pertence ao gráfico dessa função, então o produto a · b · c é igual a

(A) −12.

(B) −6.

(C) 0.

(D) 6.

(E) 12.

Gabarito:

E

Resolução:

Do enunciado temos que:

·      x_v = 4    = 4  b = –8a

·      f(2) = 0  4a – 16a + c = 0  c = 12a

·      y_v = 2   = 2    = –2   = –2  4a = –2  a = 

Portanto:

a · b · c = a · (–8a) · 12a = –8 · 12 ·   = 12

---

Questão 56

Distância de frenagem é aquela percorrida por um carro do instante em que seu freio é acionado até o momento em que ele para. Essa distância é diretamente proporcional ao quadrado da velocidade que o carro está desenvolvendo no instante em que o freio é acionado.

O gráfico a seguir indica a distância de frenagem d, em metros, percorrida por um carro, em função de sua velocidade v, em quilômetros por hora.

 

Admita que o freio desse carro seja acionado quando ele alcançar a velocidade de 100 km/h. Calcule sua distância de frenagem, em metros.

Gabarito:

(Resolução oficial)
 
k = constante de proporcionalidade
d = kv²
32 = k × 50.000² → k =
d =
d = 32 × 2² = 128 metros

---

Questão 57

Durante um torneio paraolímpico de arremesso de peso, um atleta teve seu arremesso filmado. Com base na gravação, descobriu-se a altura (y) do peso em função de sua distância horizontal (x), medida em relação ao ponto de lançamento. Alguns valores da distância e da altura são fornecidos na tabela abaixo. Seja y(x) = ax²  + bx + c a função que descreve a trajetória (parabólica) do peso.

Distância(m)	Altura(m)
1	2,0
2	2,7
3	3,2

a) Determine os valores de a, b e c.

b) Calcule a distância total alcançada pelo peso nesse arremesso.

Gabarito:

a) A tabela fornece valores de y e x. Substituindo esses valores na equação y = ax²  + bx + c, obtemos o sistema linear:

  

Resolvendo esse sistema, encontramos a = –0,1; b = 1,0 e c = 1,1.

b) Sabemos, agora, que y(x) = –0,1 x² + x + 1,1. Como o arremesso tem início no ponto x = 0, a distância alcançada pelo peso é igual ao valor de x tal que y(x) = 0, pois é nesse ponto que o peso toca o solo. Assim, precisamos resolver a equação –0,1x² + x + 1,1 = 0.

Usando a fórmula de Báskara, obtemos

Desprezando a raiz negativa, resta apenas x = 2,2/0,2 = 11 m.

A distância percorrida pelo peso equivale a 11 m.

---

Questão 58

Em uma comunidade de 2.500 pessoas, a taxa de propagação de uma certa doença é diretamente proporcional ao número de pessoas infectadas e ao número de pessoas não infectadas. Sabendo que a taxa de propagação da doença é de 45 pessoas por mês quando há um total de 250 pessoas infectadas, a taxa de propagação máxima, em pessoas por mês é

a) 80

b) 95

c) 110

d) 125

e) 140

Gabarito:

D

Resolução:

Seja x o número de pessoas infectadas. Então, há (2500 – x) pessoas não infectadas.

Assim,

Como T(250) = 45, temos:


Assim,

---

Questão 59

Na Volta Ciclística do Estado de São Paulo, um determinado atleta percorre um declive de rodovia de 400 metros e a função

d(t) = 0,4t² + 6t

fornece, aproximadamente, a distância em metros percorrida pelo ciclista, em função do tempo t, em segundos. Pode-se afirmar que a velocidade média do ciclista (isto é, a razão entre o espaço percorrido e o tempo) nesse trecho é

(A) superior a 15 m/s.

(B) igual a 17 m/s.

(C) inferior a 14 m/s.

(D) igual a 15 m/s.

(E) igual a 14 m/s.

Gabarito:

A

Resolução:

Quando t = 0, a distância percorrida d(0) = 0

Para d = 400m, o tempo gasto para percorrer esse trecho é:

d(t) = 400

0,4t² + 6t = 400

0,4t² + 6t – 400 = 0 (÷ 2)

0,2t² + 3t – 200 = 0

 

Logo, velocidade média = 400 ÷ 25 = 16m/s

---

Questão 60

No lançamento de uma bola de basquete, a altura da bola (h) em função da distância horizontal da bola até o atleta (x), em metros, é dada pela equação . Sabendo-se que a cesta de basquete se encontra a 3,05 m de altura em relação ao solo, qual deve ser a distância horizontal entre a cesta e o atleta, para que seu lançamento acerte a cesta?

A) 3,0 m
B) 3,6 m
C) 4,5 m
D) 5,2 m
E) 5,8 m

Gabarito:

C

Resolução:

Para h = 3,05, temos:

2,15 + 2x – 0,4x² = 3,05
–0,4x² + 2x + 2,15 – 3,05 = 0
–0,4x² + 2x – 0,9 = 0 
–4x² + 20x – 9 = 0

Resolvendo pela fórmula de Baskara:



Isso significa que a bola atingirá a altura de 3,05 m a uma distância de 0,5 m do jogador (na subida) e depois, a uma distância de 4,5 m do jogador (na descida), quando atingirá a cesta.

---

Questão 61

Um grupo de 90 pessoas, interessadas em viajar de férias, contata uma companhia aérea que faz a seguinte proposta: se o número de pessoas que confirmarem a viagem for igual a n, cada uma delas pagará o valor p(n)=1600 −10n pela passagem. Sendo A = {1, 2, ... , 90}, define-se a função p: A→R.

Se o valor total a ser recebido pela Companhia é dado pela função r: A→R, definida por r(n) = 1600n −10n², então pode-se afirmar:

(01) A função p é decrescente.

(02) O valor de cada passagem é um número inteiro pertencente ao intervalo [700, 1590].

(04) Tem-se p(n) = 1352 para algum  .

(08) A função r é crescente.

(16) Cada confirmação de viagem provoca um acréscimo constante no valor de r.

(32) Existe um único   tal que r(n) = 63000.

(64) O valor total recebido pela Companhia será máximo, se n = 80.

Gabarito:

67

Resolução:

01 + 02 + 64 = 67

V(01)
É uma função do 1ºgrau do tipo ax + b. Como a < 0, a função é decrescente.

V(02)
 

F(04)
     , não se aplica, pois não é quantidade de pessoas.

F(08)
 

F(16)

F(32)    

  

V(64)

---

Questão 62

Um pedreiro constrói um jardim circular de 10 m de raio, em um determinado tempo. Trabalhando no mesmo ritmo, ele constrói uma calçada circular em torno deste jardim, em um tempo 44% menor do que o que levou para construir o jardim. Se a velocidade de construção depende da área construída, determine a largura da calçada.

Gabarito:

(Resolução oficial.)

I – Área do canteiro circular: 100 π m²

II – Área da calçada circular: [(10 + x)² · π – 100π] m², sendo que x é a largura da calçada.

Fazendo-se a relação da porcentagem do tempo gasto na construção do canteiro e da calçada, temos:

 

Portanto, a largura da calçada é 2 m.

---

Questão 63

Alguns telescópios usam espelhos parabólicos, pois essa forma geométrica reflete a luz que entra para um único ponto, chamado foco. O gráfico de y = x², por exemplo, tem a forma de uma parábola. A luz que vem verticalmente, de cima para baixo (paralelamente ao eixo y), encontra a parábola e é refletida segundo a lei de que o ângulo de incidência é igual ao ângulo de reflexão. Essa lei implica que os raios de luz verticais, encontrando a parábola no ponto (a,a²), serão refletidos na direção da reta 4ay + (1 – 4a²)x = a.

Sendo assim, calcule o ponto em que os raios de luz verticais refletidos em (1,1) e (2,4) se encontrarão.

Gabarito:

O raio refletido pelo ponto (1,1) é dado pela reta com parâmetro a = 1:

4y + (1 – 4)x = 1
4y – 3x = 1
4y = 3x + 1.

O raio refletido pelo ponto (2,4) é dado pela reta com parâmetro a = 2:

8y + (1 – 16)x = 4
8y – 15x = 4
8y = 15x  + 4.

Igualando as duas equações, temos:

4y = 3x + 1
8y = 2 × 4y = 2(3x + 1) = 15x + 4
6x + 2 = 15x + 4
15x – 6x = 2 – 4
9x = –2
x =  .

4y =  + 1
4y = 
y =  . 

---

Questão 64

Em um planeta de atmosfera rarefeita, um vulcão em erupção expele para fora de sua cratera uma pedra incandescente localizada 100 metros abaixo da superfície. Sabendo que a pedra demora 10 segundos para atingir a altura máxima de 400 metros e que sua
trajetória é uma parábola, podemos afirmar que a pedra demora

(A) 20 segundos para retornar à superfície e sua altura
h em função do tempo t é dada pela expressão h(t) = t ² – 10t – 200.

(B) 15 segundos para retornar à superfície e sua altura h em função do tempo t é dada pela expressão h(t) = – 2t ² + 20t + 150.

(C) aproximadamente 18,94 segundos para retornar à superfície e sua altura h em função do tempo t é dada pela expressão h(t) = – t ² + 20t – 20.

(D) aproximadamente 18,94 segundos para retornar à superfície e sua altura h em função do tempo t é dada pela expressão h(t) = – 5t ² +100t – 100.

(E) 17 segundos para retornar à superfície e sua altura h em função do tempo t é dada pela expressão h(t) = t ² – 20t + 51.

Gabarito:

D

Resolução:

Se a trajetória da pedra é uma parábola, sua altura h pode ser descrita pela função h(t) = at² + bt + c. Sabe-se que:
h(0) = – 100 Þ c = – 100

h(10) = 400 Þ a · 10² + b · 10 – 100 = 400 Þ 100a – 200a = 500 Þ a = – 5 Þ b = 100

Portanto, h(t) = – 5t ² + 100t  – 100.

Para calcular o tempo que a pedra demora para atingir o solo, h(t) = 0:
– 5t ² + 100t  – 100 = 0
t = 18,94 s
t = 1,056 s

---

Questão 65

O primeiro século do império muçulmano, que durou dos anos 650 a 750, foi destituído de realizações científicas. Graças ao súbito despertar cultural do Islã, na segunda metade do século oitavo, estabeleceu-se em Bagdá a “Casa da Sabedoria” (Bait al-hikma), na qual havia um mestre matemático e astrônomo chamado Mohammed ibu-Musa al-Khowarizmi, autor de uma das mais importantes obras dessa época, o livro intitulado “Al-jabr Wa'l muqabalah”. Nessa obra, cujo título fez surgir o termo álgebra, al-Khowarizmi desafia o leitor a

Dividir dez em duas partes de modo que a soma dos produtos obtidos multiplicando cada parte por si mesma seja igual a cinquenta e oito.

BOYER, C. B. História da Matemática. 2.ed. São Paulo:
Edgard Blücher, 1996. p. 159. (Adaptado.)

Sendo x uma dessas duas partes, encontre a equação que representa o desafio, em função de x, e calcule o valor de cada uma dessas partes.

Gabarito:

(Resolução oficial)

Seja x uma das partes. Logo, a outra parte é 10 − x .

Ao multiplicar cada parte por si mesma e efetuar a soma, que é igual a 58, obtém-se a equação quadrática que representa o desafio:

x² + (10−x)² = 58

Esta equação é equivalente a:

x² + 100−20x + x² = 58  2x² − 20x + 42 = 0  x² − 10x + 21 = 0

Assim,

  x = 3 ou x = 7
Portanto, as partes são 3 e 7.

---

Questão 66

A temperatura f(t), em graus centígrados, em um determinado dia no deserto, é uma função do tempo t, em horas, dada por f(t) = − t² + kt − 156, quando 8 ≤ t ≤ 20, sendo k uma constante real. Sabendo que a temperatura atingiu seu valor máximo às 14 horas, é CORRETO afirmar que esse valor é de:

a) 40 °C.
b) 37 °C.
c) 43 °C.
d) 41 °C.

Gabarito:

A

Resolução:

O valor máximo de uma função de segundo grau com concavidade para baixo tem abscissa t = . Como nesse caso o valor máximo é às 14 horas, temos:

Conhecendo o valor de k podemos descobrir a temperatura máxima como sendo f(14).
f(14) = –(14²) + 28 · 14 – 156 = –196 + 392 – 156 = 40 °C.

---

Questão 67

Deseja-se construir um galpão com base retangular de perímetro igual a 100 m. A área máxima possível desse retângulo é:

A) 575 m²
B) 600 m²
C) 625 m²
D) 650 m²
E) 675 m²

Gabarito:

C

Resolução:

Perímetro: 2x + 2y = 100 ou y = 50 – x.

Área:

A = x(50 – x)
A = 50x – x²

Para 50x – x² = 0, teremos duas raízes: x' = o (não convém) e x" = 50. O valor da abscissa do vértice que é a abscissa do ponto máximo da função será x = = 25. Dessa forma, a ordenada valor máximo de A será: A = –(25)² + 50(25) = 625 m².

---

Questão 68

Estudos realizados por um economista de uma determinada empresa indicam que, dentro de uma faixa de produção de zero a 140 unidades por mês, o custo da produção de um determinado produto, bem como o rendimento bruto proveniente de sua venda, são descritos, respectivamente, pelas funções C(x) = 20x e R(x) =   + 100x, onde x denota a quantidade de unidades do produto em análise. De acordo com essas informações, é correto afirmar que o lucro bruto máximo se dará quando o valor de x for igual a

A) 140
B) 120
C) 100
D) 130

Gabarito:

B

Resolução:

A função lucro será determinada pela diferença entre a receita e o custo: L(x) = R(x) – C(x). Então:

 .

O lucro será máximo no ponto do vértice dessa função, cuja abscissa x é dada por

 .

---

Questão 69

O óxido de potássio, K₂O, é um nutriente usado para melhorar a produção em lavouras de cana-de-açúcar. Em determinada região, foram testadas três dosagens diferentes do nutriente e, neste caso, a relação entre a produção de cana e a dosagem do nutriente se deu conforme mostra a tabela a seguir.

Dose do nutriente (kg/hectare)	Produção de cana-de-açúcar (toneladas/hectare)
0	42
70	56
140	61

Considerando que a produção de cana-de-açúcar por hectare em função da dose de nutriente pode ser descrita por uma função do tipo y(x) = ax² + bx + c, determine a quantidade de nutriente por hectare que maximiza a produção de cana-de-açúcar por hectare.
Apresente os cálculos realizados na resolução da questão.

Gabarito:

(Resolução oficial)

Denotemos por y a produção de cana (toneladas/hectare) e x a quantidade de nutrientes(em kg/hectare).
Como y(x) = ax² + bx + c e y(0) = 42 obtemos que c = 42.

Da tabela temos que se x = 70, temos que y = 56 e que para x = 140 temos que y = 61. Logo, substituindo estes dados, obtemos o seguinte sistema

4.900a + 70b + 42 = 56
19.600a + 140b + 42 = 61

ou seja,

4.900a + 70b = 14
19.600a + 140b = 19.

Multiplicando a primeira equação por –2 e somando com a segunda, obtemos que 9.800a = –9 ou seja, a = .
Substituindo o valor de a, por exemplo, na primeira equação obtemos
ou seja, b = .

Portanto, a função quadrática é dada por  e a quantidade de nutriente x que maximiza a produção y é determinada por , ou seja, .

Portanto, a quantidade de  143,88 kg/hectare maximiza a produção de cana.

---

Questão 70

Um jogador de futebol chuta uma bola a 30 m do gol adversário. A bola descreve uma trajetória parabólica, passa por cima da trave e cai a uma distância de 40 m de sua posição original. Se, ao cruzar a linha do gol, a bola estava a 3 m do chão, a altura máxima por ela alcançada esteve entre 

 

a) 4,1 e 4,4 m.
b) 3,8 e 4,1 m.
c) 3,2 e 3,5 m.
d) 3,5 e 3,8 m.

Gabarito:

B

Resolução:

Pelo arco de parábola descrito pela trajetória da bola, temos:

y = a(x – x₁)(x – x₂) ⇒ y = a(x – 0)(x – 40) ⇒ y = ax(x – 40).

Como P(30, 3) pertence à parábola, temos:

y = ax(x – 40) ⇒ 3 = a · 30 · (30 – 40) ⇒ a = –0,01.

Logo:

y = ax(x – 40) ⇒ y = –0,01x(x – 40).

Para o vértice V, temos: .

A altura máxima da bola corresponde a y_v:

y_v =  –0,01x(x – 40) ⇒ y_v = –0,01(20)(20 – 40) ⇒ y_v = 4 m.

---

Questão 71

Uma lanchonete vende, em média, 200 sanduíches por noite ao preço de R$ 3,00 cada um. O proprietário observa que, para cada R$ 0,10 que diminui no preço, a quantidade vendida aumenta cerca de 20 sanduíches.
Considerando o custo de R$ 1,50 para produzir cada sanduíche, o preço de venda que dará o maior lucro ao proprietário é

A) R$ 2,50.
B) R$ 2,00.
C) R$ 2,75.
D) R$ 2,25.

Gabarito:

C

Resolução:

Considerando como x a quantidade de desconto, L o lucro, R a receita e C o custo, temos:

L = R – C

Receita:

R = [3,00 – (x · 0,10)] · (200 + 20x)

R = 600 + 60x – 20x – 2x²

R = –2x² + 40x + 600

Custo

C = 1,50 · (200 + 20x)

C = 300 + 30x

LUCRO

L = R – C.

Temos, então:

L = –2x² + 40x + 600 – (300 + 30x)

L = –2x² +10x +300

x_v =

x_v =

x_v = 2,5

O maior lucro para o proprietário será de:

3,00 – (2,5 · 0,10) = 2,75

---

Questão 72

A empresa de turismo VEST-TUR oferece uma viagem para grupos de 30 ou mais pessoas. Em grupos de 30 pessoas, cada indivíduo paga 100 reais. Em grupos com mais de 30 pessoas, todos do grupo recebem um desconto, no preço da viagem, de 1 real por pessoa que exceda as 30 iniciais. Com base nessas informações, resolva o que está sendo solicitado em cada item a seguir.

A) Determine a expressão do preço pago por pessoa, em reais, em função do número de pessoas do grupo. Se um grupo de estudantes quiser contratar a viagem da VEST-TUR pagando, no máximo, 60 reais cada um, calcule o número mínimo de estudantes que precisa haver no grupo.

B) Determine a expressão do valor total, em reais, recebido pela empresa, em função do número de pessoas do grupo. Calcule o número de pessoas do grupo que torna esse valor total máximo.

C) Suponha que, para essa viagem, a empresa tenha um custo de R$ 1.400,00, independentemente do tamanho do grupo, mais R$ 40,00 para cada pessoa do grupo. Calcule o número máximo de pessoas que pode haver no grupo, de modo que o custo que a empresa tenha nessa viagem não ultrapasse o valor total recebido por ela.

Gabarito:

A) O preço p(x) pago por pessoa é dado por:
p(x) = 100 – (x – 30) ou p(x) = 130 – x, para x ≥ 30.
Para que cada estudante pague no máximo 60 reais, temos:
130 – x ≤ 60 ⇒ x ≥ 70

Deve haver pelo menos 70 estudantes.

B) A receita R(x) da empresa é dada por:
R(x) = x (130 – x) ou R(x) = – x² + 130x

O número de pessoas que torna esse valor máximo é dado por   pessoas.
C) O custo C(x) da empresa é dado por:
C(x) = 1400 + 40x

Para que o custo não ultrapasse a receita, temos:
1400 + 40x < –x² + 130x
x²  90x + 1.400 < 0 ⇒ x₁ = 20 ou x₂ = 70 ⇒ 30 ≤ x < 70
Deve haver um número de passageiros entre 30 e 69, inclusive.

---

Questão 73

A força exercida contra o chão pela ponta da perna de um  inseto saltador terá componentes vertical e horizontal, conforme mostrado na figura.

Uma força é transmitida para o chão através da articulação dos pés posteriores. As pernas longas aumentam o tempo durante o qual a força pode agir e assim contribuem para a aceleração adquirida, mas quanto mais alto o salto, menos tempo as pernas empurram o chão.
 

(Adaptado de R. S. K. Barnes, et alli. Os invertebrados. São Paulo: Atheneu Ltda., 2007. p. 270)

Um gafanhoto, ao saltar de um ponto R a um ponto S, em um chão plano, tem como trajetória uma parábola de equação  , com x e y medidos em centímetros.

A altura máxima atingida por ele, em centímetros, é

(A) 10

(B) 15

(C) 20

(D) 25

(E) 50

Gabarito:

C

Resolução:

O formato da curva é um parábola com a concavidade voltada para baixo:
 

 
Com Y = 0, encontram-se as raízes do diagrama:
, que pode ser transcrito como 
Assim, x₁ = 0 e x₂ = 25 cm, sendo que x₂ é o alcance da parábola ou do movimento na direção X. O alcance é a distância RS, em x.
 
Substituindo na equação o valor da "metade" do valor do alcance, tem-se a abscissa da altura máxima.
 
Então, para abscissa x = 25 cm, na equação da parábola a ordenada desse ponto é Y = H_max.

---

Questão 74

A quantidade de números primos p que satisfazem a condição 2p² + 30 19p é

a) 2.
b) 3.
c) 4.
d) 5.

Gabarito:

C

Resolução:

Para resolver a inequação 2p² – 19p + 30  0, temos que encontras as raízes da função quadrática:
p = 
Logo, os valores de p são 2 e 7,5.

Como o gráfico dessa função tem concavidade para cima, os valores de p que a deixam negativa são os que estão entre as raízes.
Logo, os números primos que estão entre 2 e 7,5 (incluindo o 2 e o 7,5) são: 2, 3, 5 e 7.
Ou seja, 4 números primos. 

---

Questão 75

Alguns amigos resolveram fazer um bolão na MEGA-SENA no valor de R$ 120,00, correspondendo a cada um a mesma quantia. Com a desistência de quatro deles, a cada um dos que continuaram no bolão coube a importância de R$ 2,50 a mais. O número de pessoas que participaram efetivamente do bolão foi:

a) 11
b) 13
c) 10
d) 12

Gabarito:

D

Resolução:

Seja x a quantidade inicial de amigos. Então:


Portanto, participariam do bolão 16 amigos. Com a desistência de 4 deles, participaram efetivamente apenas 12.

---

Questão 76

Alguns biólogos estudaram o efeito de determinada substância na variação da população de certos microrganismos. Parte dos dados obtidos aparece no gráfico a seguir, em que N é o número de microrganismos e D o número de dias transcorridos a partir do contato com a substância, ocorrido no dia 0. Nesse estudo, foi observado que N é aproximadamente uma função quadrática de D, para D positivo e menor que 8.



Sobre a situação apresentada, considere as afirmações seguintes.

I. Os microrganismos são inteiramente dizimados após o contato com a substância.
II. O contato com a substância diminui o valor de N, mas este logo volta a crescer.
III. No dia D = 5 deve haver aproximadamente 10⁵ micro-organismos na população.
IV. A relação entre N e D é dada por N = D² – 2D + 5

Dessas afirmações, apenas

a) I e II são verdadeiras.
b) II é verdadeira.
c) III é verdadeira.
d) II e III são verdadeiras.
e) IV é verdadeira.

Gabarito:

D

Resolução:

Analisando as afirmações:
I. Incorreta. Em nenhum momento temos N = 0.
II. Correta. O valor de N diminui nos dois primeiros dias, depois volta a subir.
III. Correta. Por ser uma função quadrática, ela é simétrica em relação ao vértice. Pelo gráfico, podemos observar que do 4º dia temos N = 5 · 10⁴. Assim, podemos supor pelo crescimento que, no 5º dia, teremos algo em torno de 10 · 10⁴ = 10⁵.
IV. Incorreta. Basta substituir D por 1 (por exemplo) para ver que o resultado não dá 2 (ou seja, a espressão não corresponde ao gráfico).
Assim, apenas II e III são corretas.

---

Questão 77

Dois robôs, A e B, trafegam sobre um plano cartesiano. Suponha que no instante t suas posições são dadas pelos pares ordenados e , respectivamente.

Sabendo que os robôs começam a se mover em t = 0,

a) determine o instante t em que o robô A se chocará com o robô B .

b) Suponha que haja um terceiro robô C cuja posição é dada por  , em que k é um número real positivo.
Determine o maior valor de k para que a trajetória do robô C intercepte a trajetória do robô A.

Gabarito:

a) O instante do encontro será tal que:
–t² + 3t + 10 = 2t + 9
t² + 2t – 3t + 9 – 10 = 0
t² – t – 1 = 0
t = 
(como t > 0, devemos desconsiderar a resposta negativa).

b) O robô C se chocará com o A se a equação kt + 11 =  –t² + 3t + 10 tiver solução em t ≥ 0.

Assim, desenvolvendo a equação, temos:

kt + 11 + t² – 3t – 10 = 0
t² + (k – 3)t + 1 = 0

Para que essa equação tenha ao menos uma solução, seu discriminante deve ser não negativo. Além disso, como t ≥ 0, devemos descartar os valores de k que geram soluções negativas. Assim, k – 3 < 0.

Calculando o discriminante:
(k – 3)² – 4 · 1 · 1 ≥ 0
k² – 6k + 9 – 4 ≥ 0
k² – 6k + 5 ≥ 0
k ≤ 1 ou k ≥ 5

Como k > 0 e k < 3, a intersecção dos intervalos é 0 < k ≤ 1.
Logo, o valor máximo para k é 1.

---

Questão 78

Durante um torneio de arremesso de peso, um atleta teve seu arremesso tabelado: a altura (y) do peso em função de sua distância horizontal (x), medida em relação ao ponto de lançamento.

Seja y(x) = ax² + bx + c a função que descreve a trajetória (parabólica) do peso. Alguns valores da distância e da altura são fornecidos na tabela.

Distância (metros)	Altura (metros)
1	2,0
2	2,7
3	3,2

A altura máxima alcançada pelo peso foi:

a. 2,6 m

b. 3,2 m

c. 3,6 m

d. 2,2 m

e. 5,2 m

Gabarito:

C

Resolução:

De acordo com a tabela, temos:




Subtraindo da segunda equação o dobro da primeira:


Logo, a função que descreve o movimento é y(x) = –0,1x² + x + 1,1. A altura máxima é:
 m.

---

Questão 79

Em um terreno plano horizontal, está fixado um mastro vertical com 13,5 metros de altura. Do topo do mastro, é lançado um projétil, descrevendo uma trajetória de modo que sua altura, em relação ao terreno, é uma função quadrática de sua distância à reta que contém o mastro. O projétil alcança a altura de 16 metros, quando essa distância é de 3 metros, e atinge o solo, quando a distância é de 27 metros. Determine, em metros, a altura máxima alcançada pelo projétil.

Gabarito:

18

Escrevendo uma função quadrática para representar a altura h, em função da distância x, temos:

h(x) = ax² + bx + c

Substituindo os valores dados, temos:

h(0) = 13,5 ⇔ a0² + b0 + c = 13,5 ⇔ c = 13,5

h(3) = 16 ⇔ a3² + b3 + c = 16 ⇔ 9a + 3b + c = 16

h(27) = 0 ⇔ a27² + b27 + c = 0

Substituindo o valor de c nas outras duas equações, temos:

9a + 3b + c = 16 ⇔ 9a + 3b + 13,5 = 16 ⇔ 9a + 3b = 2,5 (I)

a27² + b27 + c = 0 ⇔ 729a + 27b + 13,5 = 0 ⇔ 54a + 2b + 1 =0 ⇔ 54a + 2b = –1(II)

Multiplicando (I) por –6 e somando a (II):

–18b + 2b = –15 – 1 ⇔  –16b = –16 ⇔  b = 1

Substituindo em (I):

9a + 3 = 2,5 ⇔ 9a = –0,5 ⇔ a = –0,5 / 9

O valor máximo da parábola é:

---

Questão 80

Em uma partida de futebol, um jogador, estando na lateral do campo, cruzou a bola para um companheiro de equipe o qual se encontrava na lateral oposta, a uma distância de 64 m. A bola passou 1,20 m acima da cabeça de um jogador, com 1,80 m de altura, da equipe adversária, o qual, nesse instante, estava a 4 m de distância do jogador que realizou o cruzamento, conforme figura a seguir.



Nessa situação, a bola descreveu uma trajetória em forma de arco de parábola até tocar o gramado, quando foi dominada pelo companheiro de equipe.
Com base nessas informações, é correto afirmar que, durante o cruzamento, a bola atinge, no máximo, uma altura de:

a) 12,8 m
b) 12 m
c) 11,2 m
d) 10,4 m
e) 9,6 m

Gabarito:

A

Resolução:

Escrevendo a altura da bola (h) como uma função da distância que ela atinge (x), temos:

• h(x) é uma função quadrática (o gráfico é um arco de parábola);
• h(x) pode ser escrita como a × (x – x') × (x – x''), onde x' e x'' são as raízes da parábola.

As raízes de h(x) são os pontos onde a bola toca o chão: 0 e 64. Logo, h(x) = a × (x – 0) × (x – 64) = ax² – 64ax. Quando a bola dista 4 m, sua altura é de 1,20 + 1,80 = 3,0 m. Então,

h(4) = 3
a × 4² – 64a × 4 = 3
16a – 256a = 3
–240a = 3.

Logo,


A altura máxima da parábola é dada para a média das raízes, ou seja, para x = 30.

.

---

Questão 81

Existente na região de Jalapão, estado do Tocantins, o capim dourado é uma espécie de capim cuja palha, com cor que lembra a do ouro, é utilizada na confecção de artesanato como brincos, dessa atividade se iniciou no vilarejo de Mumbuca, município de Mateiros-TO.
Sabe-se que um artesão tem um gasto dado pela função ,
para produzir x peças de um determinado modelo de artesanato com o Capim Dourado e o preço de venda de uma unidade artesanal, em reais, é dado pela função
.
Podemos afirmar que, a produção diária de peças para se obter um lucro máximo na venda é:

a) 6
b) 8
c) 10
d) 5
e) 7

Gabarito:

E

Resolução:

Ao produzir x peças, o artesão gasta G(x) = 0,5x² + 15x + 18 reais e recebe x · V(x) = x · (–10x + 162). Assim, tem um lucro L(x) = –10x² + 162x – 0,5x² – 15x – 18 = –10,5x² + 147x – 18

A abscissa do vértice dessa parábola de concavidade para baixo indicará a quantidade de peças fabricadas que gera o lucro máximo:
 

---

Questão 82

Na construção de antenas parabólicas, os fabricantes utilizam uma curva, construída a partir de pontos dados, cujo modelo é uma parábola, conforme a figura a seguir.



Uma fábrica, para construir essas antenas, utilizou como modelo a curva que passa pelos pontos de coordenadas (0,0), (4,1), (–4,1).
Outro ponto que também pertence a essa curva tem coordenadas

A) 
B) 
C) 
D) 

Gabarito:

B

Resolução:

Como toda função de segundo grau é do tipo f(x) = ax² + bx + c, podemos encontrar os coeficientes dessa função a partir do sistema:


Somando a segunda e a terceira equações, temos: 32a = 2, logo,  .
Substituindo o valor de a na segunda equação, temos:


Conclui-se que a função é dada por  .
Analisando as alternativas, temos:

---

Questão 83

Os analistas de produção de certa usina de cana-de-açúcar verificaram que o volume de etanol produzido, em m³, nas primeiras t horas diárias de funcionamento da usina é dado por:
V(t) = 10(t² + 2t), com 0 ≤ t ≤ 8
Com base nessa informação, conclui-se que o volume de etanol produzido na 8ª hora de funcionamento da usina é de:

a) 63 m³
b) 80 m³
c) 170 m³
d) 630 m³
e) 850 m³

Gabarito:

C

Resolução:

Até a 7ª hora, a usina havia produzido:
V(7) = 10(7² + 2.7) = 10(49 + 14) = 10(63) = 630 m³

Até a 8ª hora, havia produzido:
V(8) = 10(8² + 2.8) = 10(64 + 16) = 10(80) = 800 m³

Logo, durante apenas a 8^a hora, produziu:
800 – 630 = 170 m³

---

Questão 84

Um aluno do curso de física desenhou os gráficos a seguir das funções y₁ = x² – 7x + 10 e y₂ = –x² + 7x – 10, com x representando o tempo, e y, a posição de dois móveis. Entretanto, como gostava de matemática, resolveu determinar a área do quadrilátero ABCD.
Sabendo-se que B e C são pontos de mínimo e máximo das funções y₁ e y₂, a área do quadrilátero é:



(A) 15,75 unidade de área.
(B) 15,55 unidade de área.
(C) 15,45 unidade de área.
(D) 14,75 unidade de área.
(E) 14,55 unidade de área.

Gabarito:

A

Resolução:

Como as duas funções têm raízes em x = 2 e x = 5, possuem mesma abcissa do vértice:

Para encontrar a ordenada do vértice, basta substituir  x_v em cada uma das funções:

Assim,   e  .
Portanto, a área procurada é:

---

Questão 85

Um jogador de futebol, ao bater uma falta com barreira, chuta a bola de forma a encobri-la. A trajetória percorrida pela bola descreve uma parábola para chegar ao gol.



Sabendo-se que a bola estava parada no local da falta no momento do chute, isto é, com tempo e altura iguais a zero. Sabendo-se ainda que no primeiro segundo após o chute a bola atingiu uma altura de 6 metros e, cinco segundos após o chute, ela atingiu altura de 10 metros. Pode-se afirmar que após o chute a bola atingiu a altura máxima no tempo igual a:

(A) 3 segundos.
(B) 3,5 segundos.
(C) 4 segundos.
(D) 4,5 segundos.
(E) 5 segundos.

Gabarito:

B

Resolução:

Uma parábola que passa pelo ponto (0,0) tem c = 0. Para encontrar os outros coeficientes, basta resolver as equações:

f(1) = 6
a × 1² + b × 1 = 6
a + b = 6
b = 6 – a (I)

f(5) = 10
a × 5² + b × 5 = 10
25a + 5b = 10 (substituindo I)
25a + 5(6 – a) = 10
25a + 30 – 5a = 10
20a = –20
a = –1 (substituindo em I)
b = 6 + 1 = 7.

O tempo que dá a altura máxima da função f(x) = –x² + 7 pode ser encontrado pela fórmula do vértice da parábola:
t =   =  = 3,5 segundos.

---

Questão 86

Um lote retangular, doado a uma instituição filantrópica, deverá ser demarcado num terreno em formato de triângulo retângulo. Na figura ao lado, x e y representam as dimensões desse lote.

(A) Sabendo que a área, S, do lote é dada pela expressão S = 60x – 2x², determine o valor de x para que o lote doado tenha a maior área possível.

(B) Usando os dados da figura e a fórmula para cálculo da área de um retângulo, mostre como obter a expressão S = 60x – 2x².

Gabarito:

(Resolução oficial.)

(A) Como S é uma função quadrática, cujo gráfico é uma parábola, sabemos que seu valor máximo ocorre no vértice da parábola.

Como o valor de x no vértice é  , segue que este é o valor solicitado.

Outra solução seria esboçar o gráfico da parábola e determinar o vértice usando a simetria da figura.

Também seria possível usar derivada.
 

(B) Sabe-se que a área S do retângulo (região) S = xy.

Da figura, usa-se semelhança de triângulos, tem-se que   (ou outra relação decorrente da semelhança), ou seja, 3y = 180 – 6x, ou ainda, y = 60 – 2x.

Portanto, S = xy = x(60 – 2x) = 60x – 2x².

Outra solução é somar as áreas dos triângulos menores com a área do retângulo e igualar à área do triângulo maior.

---

Questão 87

Um meio de transporte é tanto mais eficiente quanto menor for a energia consumida para transportar cada pessoa por certa distância. Na figura a seguir são mostrados diversos meios de locomoção e seu consumo, em J/km por pessoa, para certa velocidade.



Suponha que o consumo de energia é nulo quando a velocidade é igual a zero. Com base nessa informação e nos dados da figura anterior, se usássemos um polinômio C(v) para expressar o consumo (em J/km por pessoa) como função da velocidade (em km/h) de uma pessoa que viaja sozinha em um carro, esse polinômio seria

a) C(v) = –0,24v² + 56v.
b) C(v) = 20v + 1.200.
c) C(v) = 0,12v² + 2v + 1.800.
d) C(v) = 0,015v³ – 2,64v² + 136v.

Gabarito:

A

Resolução:

De acordo com a figura, considerando-se 1 carro com 1 passageiro, temos:

• velocidade 50 km/h: consumo = 2.200 J/km por pessoa.

• velocidade 100 km/h: consumo = 3.200 J/km por pessoa.

A forma mais simples de resolver essa questão é por substituição de valores do gráfico em cada um dos polinômios presentes nas alternativas. Considerando-se a velocidade de 100 km/h:

C(v) = –0,24v² + 56v

C(v) = –0,24 · (100)² + 56 · 100

C(v) = –2.400 + 5.600

C(v) = 3.200 J/km · pessoa.

---

Questão 88

Um objeto é lançado do solo, verticalmente para cima, com velocidade inicial de módulo 49 m/s. Desconsidere a resistência do ar e assuma que a aceleração da gravidade no local seja de g = 9,8 m/s².

A) Seja y(t) a altura do objeto, em metros, em relação ao solo, após t segundos do seu lançamento. Esboce o gráfico de y em função de t, para 0 ≤ t ≤ 10 s, no sistema de coordenadas a seguir, indicando, pelo menos, três pontos do gráfico.



B) Durante quantos segundos a altura do objeto em relação ao solo foi maior ou igual a 78,4 m?

Gabarito:

(Resolução oficial)

A) A equação horária para a altura do objeto, em metros, em relação ao solo, como função do tempo, em segundos, é y(t) = 49t – 4,9t², de modo que o gráfico de y × t é uma parábola com concavidade voltada para baixo, que intercepta o eixo das abscissas nos pontos (0; 0) e (10; 0) e que tem vértice no ponto (5; 122,5).



B) Queremos descobrir para quais valores de t temos y(t) = 49t – 4,9t² ≥ 78,4 m. A desigualdade é equivalente a t² – 10t + 16 ≤ 0 e a (t – 5)² ≤ 3² que tem solução 2 = 5 – 3 ≤ t ≤ 5 + 3 = 8. Portanto, o objeto estará a uma altura maior ou igual a 78,4 m durante 6 segundos.

---

Questão 89

Um projétil é lançado a partir de uma altura de 11 metros, e sua trajetória tem a forma de uma parábola de equação h(x) = c + bx – x², que determina sua altura h (na vertical, em metros) em função de sua distância x do ponto inicial O no solo (na horizontal, em metros). No mesmo instante e lugar do lançamento do projétil, uma bala é lançada em linha reta, cuja equação é dada por H(x) = mx + n, que determina sua altura H (na vertical, em metros) em função de sua distância x do ponto inicial O no solo (na horizontal, em metros). A bala alcança o projétil num ponto P a 35 metros na vertical e 6 metros na horizontal, como na figura a seguir.



A partir dos dados fornecidos, assinale a(s) afirmação(ões) correta(s).

(001) O valor de (b + c) é igual a 20.

(002) O coeficiente angular da reta que define a trajetória da bala é igual a 4.

(004) O coeficiente linear da reta que define a trajetória da bala é igual a 11.

(008) A altura máxima, atingida pelo projétil na vertical, é de 40 metros.

(016) Supondo que a bala não fosse lançada, então a distância do ponto de partida, na horizontal, que o projétil atingiria o solo seria de x = 11 metros.

Gabarito:

22

Resolução:

002 + 004 + 016 = 022

h(0) = 11 → c = 11
H(0) = 11 → n = 11
h(6) = 35 → 11 + 6b – 36 = 35  b = 10
H(6) = 35 → 6m + 11 = 35  m = 4
 
Logo:
h(x) = 11 + 10x – x²
H(x) = 4x + 11

(001) Falsa
b + c = 10 + 11 = 21

(002 e 004) Verdadeiras
H(x) = 4x + 11

(008) Falsa

A altura máxima atingida foi de 36 metros.

(016) Verdadeira
As raízes da equação h(x) são –1 e 11, portanto, o projétil atingiria o solo em x = 11.

---

Questão 90

Um terreno retangular tem 80 m de comprimento e 60 m de largura. Na parte central do terreno, Carlos quer construir uma piscina retangular que deve ocupar 7/25 da área. A faixa ao redor da piscina terá, em todos os pontos, a mesma largura.

Faça o que se pede:

a) Sendo x a largura da faixa, determine a expressão da área da piscina em função da variável x .
b) Calcule a largura da piscina.

Gabarito:

a) A área da piscina é:
A(x) = (80 – 2x) (60 – 2x)
A(x) = 4.800 – 280x + 4x²

b) Se a área da piscina é 7/25 da área do terreno, tem-se:

Como 2x < 60, tem-se que x = 16, e portanto a largura da piscina é de 60 – 2 · 16 = 28 metros.

---

Questão 91

Uma única linha aérea oferece apenas um voo diário da cidade A para a cidade B. O número de passageiros y que comparecem diariamente para esse voo relaciona-se com o preço da passagem x, por meio de uma função polinomial do primeiro grau.
Quando o preço da passagem é R$ 200,00, comparecem 120 passageiros e, para cada aumento de R$ 10,00 no preço da passagem, há uma redução de 4 passageiros. Qual é o preço da passagem que maximiza a receita em cada voo?

a) R$ 220,00
b) R$ 230,00
c) R$ 240,00
d) R$ 250,00
e) R$ 260,00

Gabarito:

D

Resolução:

Para saber quantos passageiros comparecerão, dado um preço p, devemos ver quantos reais p está acima de 200 (ou seja, p – 200) e em seguida dividir esse resultado por 10. Assim, teremos a taxa que deve ser multiplicada por 4, resultando na quantidade de passageiros a menos de 120 que comparecerão no voo. Por exemplo, se o preço for 220 reais, 220 – 200 = 20. Como , temos que 4 · 2 = 8 passageiros deixarão de comparecer, resultando num total de 120 – 8 = 112 passageiros.

Essa operação pode ser descrita da seguinte maneira, sendo n o número de passageiros:
n = = 120 – 0,4(p – 200) = 120 – 0,4p + 80 = 200 – 0,4p

Como a receita é dada pela multiplicação entre o número de passageiros e o preço da passagem, temos que:
R = n · p = (200 – 0,4p) · p = 200p – 0,4p²
O gráfico de R é uma parábola com a concavidade voltada para baixo, com  raízes nos pontos 0 e 500 e vértice no ponto de abscissa 250 (que é o ponto médio das raízes).
Logo, a receita é crescente quando o preço varia de 0 a 250 reais e decresce quando varia de 250 a 500 reais. O preço que gera a  maior receita é 250 reais.

---

Questão 92

Uma fábrica de equipamentos leves fez um estudo de sua produção e conseguiu uma fórmula, cuja expressão é C(n) = 0,6n² – 120n + 10.000, para obter o custo C, em reais, em função do número n de peças produzidas.
Nessas condições, o custo mínimo, em reais, de produção dessa fábrica é de

01) 3.500
02) 4.000
03) 4.500
04) 5.000
05) 5.500

Gabarito:

02

Resolução:

O custo mínimo está diretamente relacionado ao vértice da parábola que caracteriza a função quadrática em questão:

C(n) = 0,6n² – 120n + 10.000
x_v = 
x_v = 
x_v = 100.

Substituindo o valor obtido na expressão dada, obtemos para o custo mínimo, em reais:

C(n) = 0,6n² – 120n + 10.000
C(100) = 0,6(100)² – 120.100 + 10.000
C = 4.000.

---